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線形回帰の動きをアニメーションで理解する
「点の並びに最もよく合う1本の直線」が決まる仕組みを、動かして確かめる
線形回帰（せんけいかいき）は、点の並びに最もよく合う1本の直線を引き、その直線で数字を予測する手法です。たとえば「広告費をかけると売上はどれだけ増えそうか」「気温が上がると来店数はどう変わるか」といった場面で使われます。下のデモで、でたらめな位置にあった直線が、少しずつ点の並びに合っていく様子を見てみましょう。
動かして確かめる
点の一つひとつが、1か月分のデータだと思ってください。横軸は広告費、縦軸は売上（どちらも万円のたとえ）です。まずは「再生」を押してください。直線が動き、各点から直線までの縦の線と、それを一辺とする正方形が描かれます。正方形の面積の合計が「ずれの大きさ」で、直線が良くなるほど小さくなります。
ずれの大きさの推移（下がるほど、直線が点の並びに合っています）
横軸は広告費、縦軸は売上（万円のたとえ）。薄い正方形の面積の合計が小さいほど、良い直線です。「点を追加する」で画面をクリック（タップ）すると点を足せます。画面の端に1点足すだけで、直線がどう動くか試してみてください。
何が起きているのか：ずれが最も小さくなる直線を探す
直線は「売上 ＝ 傾き × 広告費 ＋ 切片」という式で表せます。傾きは「広告費が1増えると、売上がどれだけ増えるか」、切片は「広告費が0のときの売上」です。線形回帰は、この傾きと切片をどう決めれば点の並びに最も合うかを求める手法です。
- ずれを測る：各点から直線まで、縦にどれだけ離れているか（これを「残差（ざんさ）」と呼びます）を測ります。デモの縦の線がそれです。
- 二乗して足す：残差を二乗して全部足します。デモの正方形の面積の合計です。二乗するのは、上のずれと下のずれが打ち消し合わないようにするためと、大きなずれをより重く見るためです。
- 合計がいちばん小さい直線を選ぶ：これを「最小二乗法」といいます。デモの推移グラフが、直線が良くなるにつれて下がっていきます。
デモの「再生」では、勾配降下法という方法を使っています。「今の傾きと切片を、どちらへどれだけ動かせばずれが減るか」を調べて、少しずつ直線を動かすやり方です。何度か繰り返すと、直線はそれ以上動かない位置に落ち着きます。一方、線形回帰の場合は計算式で一発で答えを出せるので、「正解を一発で出す」を押すと、直線が最終位置へ一気に動きます。ゆっくり近づく方法と一発の式が同じ場所に着くことも確かめてみてください。複雑なAIでは一発の式がなく、この「少しずつ動かして良くする」考え方が使われます。
決定係数R²は、「直線でどれくらい説明できているか」を表す目安で、最小二乗の直線では0から1の値になります。1に近いほど点が直線の近くに並んでおり、0に近いほど直線では説明できていません。「ばらつき大」や「曲がった関係」に切り替えて、R²がどう変わるかを見てみましょう。
ここでは横軸が1つ（広告費だけ）の場合を見ましたが、「広告費」「気温」「店舗面積」のように項目を増やして売上を説明する方法を「重回帰（じゅうかいき）」といいます。考え方は同じで、ずれの二乗の合計を最小にするよう、項目ごとの傾きを決めます。
使うときの注意点
- 外れ値に引っ張られます。「点を追加する」で、画面の右下や左上の端に1点だけ足してみてください。たった1点で直線が大きく傾きます。二乗するぶん、遠く離れた点のずれが特に重く扱われるためです。「外れ値あり」と見比べると、1点の有無で傾きがどれだけ変わるかが分かります。入力ミスなのか、本当に起きた特別な出来事なのかを、まず確かめましょう。
- データの範囲の外は当てになりません。「クリックの動作」を「予測の位置を決める」にして、点が並んでいない範囲をクリックすると「範囲外」と表示されます。直線はその先も延びますが、実際に延びる保証はありません。広告費が一定額を超えると効果が頭打ちになる、といったことは、手元のデータからは分からないからです（これを「外挿（がいそう）の危うさ」と呼びます）。
- 関係があっても、原因とは限りません。「気温が高い日はアイスの売上も水難事故も増える」ように、直接の原因でなくても数字が連動することがあります。直線の傾きは「一緒に動く傾向」を示すだけで、「広告費を増やせば必ず売上が増える」とは言い切れません。
- 曲がった関係は、直線では表せません。「データの形」を「曲がった関係」にしてみてください。直線を引いてもR²は低く、縦の線の長さは中央で下向き、両端で上向きに偏ります。直線がデータに合っていないサインです。散布図を目で見て確かめるのが第一歩です。
- R²が高くても、安心しきらないでください。点が少ないと、たまたま高い値が出ることがあります。また、これまでのデータに合っていても、将来も同じ関係が続くとは限りません。
中小企業での使いどころ
「広告費と売上」「気温と来店数」「店舗面積と売上」など、手元にある2つの数字の関係を、勘ではなく数字で確かめるのに向いています。「広告費を10万円増やすと、売上は平均でおよそこれくらい増えてきた」と傾きから読み取れれば、予算の相談や仕入れ量の見当をつけやすくなります。まずは散布図を描いて直線を引き、外れ値や曲がり方を目で確認してから数字を読むのが安全です。結果をどう使うかの判断は、現場を知る人の仕事です。
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